Serial Matematika Komputasi (1)

Mencari Akar Bilangan

Mencari akar bilangan adalah pekerjaan yang sering dilakukan dalam pelajaran matematika ataupun pelajaran yang menggunakan matematika. Jika bilangan yang dicari termasuk pada bilangan yang istimewa seperti 4,9,25, 36,… maka akarnya dengan mudah ditemukan, sebab orang sudah dilatih untuk mengingat akar-akar bilangan tersebut. Tetapi jika bilangan yang dicari akarnya tidak termasuk bilangan istimewa seperti di atas, maka pada umumnya orang akan menggunakan kalkulator, dan sedikit dari mereka menggunakan cara matematika yang diajarkan disekolah.

Bagaimana sesungguhnya metoda menjari akar dari sebuah bilangan? Saat ini setidaknya terdapat dua pendekatan yang digunakan yaitu pendekatan tradisional yaitu matematika seperti yang diajarkan disekolah dan pendekatan komputasi.

Pada pendekatan tradisional langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Tentukan sebuah bilangan yang akan dicari akarnya, misalnya a
2. Pikirkan sebuah bilangan yang merupakan perkalian dari bilangan b dengan dirinya sendiri yang lebih kecil dan mendekati a
3. Kurangkan a dengan bilangan hasil b*b dan misalkan dengan c. Selanjutnya gabungkan c dengan dua buah angka nol sehingga menghasilkan c00.
4. Pikirkan sebuah bilangan yang dimulai dengan penjumlah b+b dengan sebuah bilangan d dan jika dikalikan dengan d hasilnya mendekati atau tidak lebih dari c00.
5. Ulangi langkah seperti pada logika langkah 3 dan berhenti pada ketepatan yang diinginkan.

Contoh: Carilah akar 20.

Dengan menggunakan  metode di atas diperoleh akar 20 adalah 4,43 (pendekatan 2 desimal dibelakang angka)

Dari langkah pada metoda di atasa terlihat bahwa semua bilangan dapat dicari akarnya, akan tetapi sangat sulit untuk ditranformasikan ke bahasa pemrograman khususnya pada langkah 2-4.

Pekerjaan mencari akar dapat dilakan secara matematika komputasi, yaitu menyelesaikan persoalan matematika menggunakan komputer. Algoritma komputasinya adalah sebagai berikut:

Langkah 1: inputkan a,k dan x₀, dimana a adalah bilangan yang akan dicari akarnya, k bilangan integer (bulat) yang dimulai dengan 0, dan x₀=a.

Langkah 2: Do

x_k+1=(xk+a/xk)/2

k=k+1

While (xk+1 <>xk

End do

Langkah 3      : tampilkan akar=x_k+1

Contoh: tentukanlah akar 20

Jawab:

Langkah 1: a=20, k=0, x0=20

Langkah 2:

x1=(20+20/20)/2=10,5

x2=(10,5+20/10,5)/2=6,20

x3=(6,2+20/6,2)/2=4,71

x4=(4,71+20/4,71)/2=4,48

x5=(4,48+20/4,48)/2=4,47

x6=(4,47+20/4,47)/2=4,47

Karena x6=x5 maka keluar dari langkah 2

Langkah 3: akar 20 adalah 4,47

Terlihat bahwa ke dua metode di atas sangat berbeda dalam mencari akar. Hasil yang sedikit berbeda disebabkan oleh pembulatan.

Dari contoh ini dapat dipahami bahwa tidak semua metode penyelesaian matematika secara tradisional dapat diaplikasikan pada perhitungan yang  berbantuan komputer.